Kairofliser, seks forskjellige størrelser. Forholdstallet er 1,355; den korte siden er dermed like lang som den lange siden i neste størrelse. De tolvkantete stjernene framkommer ved å legge seks fliser oppå hverandre, hver flis rotert 60 grader sammenliknet med den forrige.

Til venstre kairofliser generert fra sentrum i kvadrater og trekanter. Kairofliser som har hjørner på 120 og 90 grader kan også arrangeres på en annen måte, sammen med sekskanter. Her er noen flere enkle mønstre med dette arrangementet som basis.

^{(Two photos of pentagonal Cairo tiling in Norway)} Cairo pentagonal tiling, eller “flislegging med femkantete kairo-fliser”, fra taket på Deichmanske bibliotek i Oslo og fortauet mellom bussterminalen og Clarion hotell i Tromsø.

En kairo-flis er en femkant der to av vinkelene som ikke ligger ved siden av hverandre er 90 grader, flisen har en symmetriakse og minst fire av sidene er like lange, og mange femkanter kan legges sammen slik at de dekker en flate fullstendig. Det er lett å finne store mengder stoff om disse femkantene på nettet.

Det går an å dekke en flate med regulære trekanter og firkanter, og ved å trekke linjer mellom sentrum av dem, kan vi konstruere kairo-fliser Denne femkanten har vinkler på 120 grader og 90 grader.

En kairo-flis der alle de fem sidene har samme lengde, er også lett å konstruere. Vinklene får da litt forskjellig størrelse. Sidelengden er 1. Konstruksjon av en rettvinklet trekant gir en hypotenus med lengde kvadratroten av to. Denne lengden brukes som hjelpelinjer for å finne de andre hjørnene.

Denne femkanten kan også dekke en flate. Men vi går tilbake til varianten der vinklene er 90 og 120 grader, og legger farger på flisene.

Bildet er 4525 x 4500 px og består av 2560 små og 640 litt større titaggete stjerner (5 * 8^3 og 10 * 8^2) (Pic is 4525 x 4500 px and consists of 2560 small and 640 bigger tenpointed stars )

Tikanten er femkantens eldre søsken; mer livserfaren, fleksibel og rundere i kantene. Vi kan lage kranser med fem eller ti tikanter, forklaringen er her. Vinkel A er 72 grader og vinkel B er 36 grader. Hvis vi skal dekke en flate med bare tikanter, må de overlappe hverandre. En mulighet er vist under.

Her er et par bilder som bygger på overlappende tikanter.

Det fins mange nettsider og videoer som forklarer hvordan en regulær femkant kan konstrueres ved hjelp av passer og linjal. (Dette er som kjent det klassiske kravet til eksakt konstruksjon.) Istedenfor å lete på nettet etter en oppskrift, vil jeg resonnere meg fram til en måte å konstruere femkanten på. Det er artig å forstå hva man gjør og vite at det er matematisk korrekt. Her er resonnementet.

	Jeg tegnet en regulær tikant. Enheten min er sidekanten, altså 1. Nå har jeg lyst til å regne ut lengden av radius. De ti radiene er like lange, og de ti trekantene er like.
	Her er den ene av de ti trekantene som tikanten består av. Hjørnene kaller jeg A, B og C. Vinkel C er 360/10 = 36 grader. De to andre vinklene må da være 72 grader, siden trekanten er likebeint og vinkelsummen i en trekant er 180 grader.
	Jeg tegner linja AD slik at den er like lang som AB, altså 1. Siden vinkel B er 72 grader, må vinkel ABD også være 72 grader. Vinkel DAB blir da 180 – 72 – 72 = 36 grader. Og vinkel CAD blir 72 – 36 = 36 grader.
	Siden vinkel CAD og vinkel DCA er like store, er trekanten ADC likebeint. Linjene AD og CD må derfor være like lange, det vil si at lengden = 1. Den linjen som vi ikke vet lengden på, er BD, så jeg kaller den for x, og jeg vil regne den ut.
	Trekantene BDA og ABC er likeformete siden de vinklene som tilsvarer hverandre er like store. Derfor kan jeg sette opp en relasjon mellom sidene i de to trekantene.
Jeg kalte lengden av BD for x, og her regner jeg ut den lengden.	Jeg regner ut og får: x ( x + 1) = x x2 + x – 1 = 0
Det vil si: 1x2 + 1x + (-1) = 0 I denne likninga: a =1, b = 1, c = -1	Jeg setter inn i andregradsformelen og regner ut:
Jeg regner ut lengden av BD. Til slutt summerer jeg BD og CD for å finne lengden av BC. Og AB og BC er jo like lange.

Nå kjenner vi lengden av BC og AC, men så er spørsmålet hvordan vi konstruerer den lengden. Det kan Pytagoras hjelpe til med.

	For å vise framgangsmåten, tegner jeg en rettvinklet trekant der de to katetene er 1 og 2 enheter lange. Vi bruker Pytagoras og finner ut at hypotenusen til denne trekanten er kvadratroten av 12 + 22. Det vil si kvadratroten av 5. (Jeg bryr meg ikke om å forklare konstruksjonen av den rettvinklete trekanten.)
	Jeg konstruerer altså den rettvinklete trekanten. Jeg forlenger hypotenusen med 1 enhet, og halverer den linjen jeg får. Nå er de to halvpartene av linjen den lengden som radius skal ha.
	Jeg slår en sirkel med denne lengden som radius, og avsetter enheten ti ganger rundt sirkelens periferi. Her er konstruksjonen. Jeg har også tegnet inn to radier, og forbundet punktene på periferien med hverandre slik at jeg får en regulær femkant og en regulær tikant.

Egentlig kreves det altså to konstruksjoner for å løse oppgaven. Resultatet av den første konstruksjonen er en linje med en lengde som er halvparten av (kvadratroten av 5 + 1). Og den andre konstruksjonen handler om å avsette enheten rundt sirkelperiferien.

Jeg tror at alle korrekte måter å konstruere femkanten på må inkludere den rettvinklete trekanten, men mange oppskrifter slår sammen de to konstruksjonene slik at det er vanskelig å forstå hva som egentlig foregår.

På dette bildet er alle linjene mellom de ti punktene blitt trukket, og jeg har plassert nye mindre femkanter inni hver av de ti likebeinte trekantene som tikanten består av. Under står det fire bilder med varianter av denne ideen, og et bilde som tar ideen videre.